Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Равносильные уравнения

1. Два равносильных игрока играют в игру, ничьи в которой исключаются. Какова вероятность для первого игрока выиграть: а) одну партию из двух? б) две из четырех? в) три из шести?

Ответ: а) ; б) ; в)

3. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две - правее.

Ответ:

4.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Ответ: .

5.Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных мальчиков и девочек окажется поровну.

Ответ: 0,0782

6. Магазин получил 500 бутылок в стеклянной таре. Вероятность того, что при перевозке любая из бутылок окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одну.

Ответ: а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95

7. Автомобильный завод выпускает 80% автомобилей без существенных дефектов. Какова вероятность того, что среди 600 автомобилей, поступивших с завода на автомобильную биржу, окажется не менее 500 автомобилей без существенных дефектов?

Ответ: 0,02.

8. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная частота появлений герба отклонится от вероятности р =0,5 появления герба при одном бросании монеты не более, чем на 0,02?

Ответ: n ≥ 2401.

9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых событий постоянна и равна p =0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Ответ: а) , б) , в) .

10. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.

Ответ:

11. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p =0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01.

Ответ: n = 1764.

12. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Ответ: .

13. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Раздел 2. Логическая равносильность формул. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

Отношение равносильности

С помощью таблиц истинности можно установить, при каких наборах значений истинности входящих переменных формула будет принимать истинное или ложное значение (а также высказывание, имеющее соответствующую логическую структуру), какие формулы будут тавтологиями или противоречиями, а также установить, являются ли две данные формулы равносильными.

В логике говорят, что два предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Слово «одновременно» в этой фразе неоднозначно. Так, для предложений «Завтра будет вторник» и «Вчера было воскресенье» это слово имеет буквальный смысл: в понедельник они оба истинны, а в остальные дни недели – оба ложны. Для уравнений «х = 2 » и «2х = 4 » «одновременно» означает «при одних и тех же значениях переменной». Прогнозы «Завтра будет дождь» и «Неверно, что завтра не будет дождя» одновременно подтвердятся (окажутся истинными) либо не подтвердятся (окажутся ложными). В сущности, это один и тот же прогноз, выраженный в двух разных формах, которые можно представить формулами Х и . Эти формулы одновременно принимают значение «истина» либо значение «ложь». Для проверки достаточно составить таблицу истинности:

Видим, что значения истинности в первом и последнем столбцах совпадают. Такие формулы, как и соответствующие им предложения, естественно считать равносильными.

Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция – тавтология.

Равносильность двух формул записывается так: (читается: формула F 1 равносильна формуле F 2 ).

Проверить, равносильны ли формулы, можно тремя способами: 1) составить их эквиваленцию и с помощью таблицы истинности проверить, не является ли она тавтологией; 2) для каждой формулы составить таблицу истинности и сравнить итоговые результаты; если в итоговых столбцах при одинаковых наборах значений переменных значения истинности обеих формул будут равны, то формулы являются равносильными; 3) с помощью равносильных преобразований.

Пример 2.1: Выяснить, являются ли формулы равносильными: 1) , ; 2) , .

1) Воспользуемся для определения равносильности первым способом, то есть выясним, является ли эквиваленция формул и тавтологией.

Составим эквиваленцию формул: . Полученная формула содержит две различные переменные (А и В ) и 6 операций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Значит, в соответствующей таблице истинности будет 5 строк и 8 столбцов:

Из итогового столбца таблицы истинности видно, что составленная эквиваленция является тавтологией и, значит, .

2) Для того чтобы выяснить являются ли формулы и равносильными, используем второй способ, то есть составим для каждой из формул таблицу истинности и сравним итоговые столбцы. (Замечание . Для того чтобы эффективно использовать второй способ, необходимо, чтобы все составленные таблицы истинности начинались одинаково, то есть наборы значений переменных были одинаковы в соответствующих строках .)

В формуле две различные переменные и 2 операции, значит, в соответствующей таблице истинности 5 строк и 4 столбца:

В формуле две различные переменные и 3 операции, значит, в соответствующей таблице истинности 5 строк и 5 столбцов:

Сравнивая итоговые столбцы составленных таблиц истинности (так как таблицы начинаются одинаково, мы можем не обращать внимание на наборы значений переменных), видим, что они не совпадают и, следовательно, формулы не равносильны ().

Выражение не является формулой (так как символ « » не относится к какой-либо логической операции). Оно выражает отношение между формулами (также как равенство между числами, параллельность между прямыми и т.п.).

Справедлива теорема о свойствах отношения равносильности:

Теорема 2.1. Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

1) рефлексивно: ;

2) симметрично: если , то ;

3) транзитивно: если и , то .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики . Перечислим наиболее важные из них:

1. – закон тождества.

2. – закон исключенного третьего

3. – закон противоречия

4. – дизъюнкция с нулем

5. – конъюнкция с нулем

6. – дизъюнкция с единицей

7. – конъюнкция с единицей

8. – закон двойного отрицания

9. – коммутативность конъюнкции

10. – коммутативность дизъюнкции

11. – ассоциативность конъюнкции

12. – ассоциативность дизъюнкции

13. – дистрибутивность конъюнкции

14. – дистрибутивность дизъюнкции

15. – законы идемпотентности

16. ; – законы поглощения

17. ; – законы де Моргана

18. – закон, выражающий импликацию через дизъюнкцию

19. – закон контрапозиции

20. – законы, выражающие эквиваленцию через другие логические операции

Законы логики используются для упрощения сложных формул и для доказательства тождественной истинности или ложности формул.

Равносильные преобразования. Упрощение формул

Если в равносильные формулы всюду вместо какой-нибудь переменной подставить одну и ту же формулу, то вновь полученные формулы также окажутся равносильными в соответствии с правилом подстановки. Таким способом из каждой равносильности можно получить сколько угодно новых равносильностей.

Пример 1: Если в законе де Моргана вместо Х подставить , а вместо Y подставить , то получим новую равносильность . Справедливость полученной равносильности легко проверить с помощью таблицы истинности.

Если какую-нибудь формулу , являющуюся частью формулы F , заменить формулой , равносильной формуле , то полученная формула окажется равносильной формуле F .

Тогда для формулы из примера 2 можно провести следующие замены:

– закон двойного отрицания;

– закон де Моргана;

– закон двойного отрицания;

– закон ассоциативности;

– закон идемпотентности.

По свойству транзитивности отношения равносильности можем утверждать, что .

Замену одной формулы другой, ей равносильной, называют равносильным преобразованием формулы.

Под упрощением формулы, не содержащей знаков импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая не содержит отрицаний неэлементарных формул (в частности, двойных отрицаний) или содержит в совокупности меньшее число знаков конъюнкции и дизъюнкции, чем исходная.

Пример 2.2: Упростим формулу .

На первом шаге мы применили закон, преобразующий импликацию в дизъюнкцию. На втором шаге применили коммутативный закон. На третьем шаге применили закон идемпотентности. На четвертом – закон де Моргана. И на пятом – закон двойного отрицания.

Замечание 1 . Если некоторая формула является тавтологией, то и всякая равносильная ей формула также является тавтологией.

Таким образом, равносильные преобразования можно также применять для доказательства тождественной истинности тех или иных формул. Для этого данную формулу нужно равносильными преобразованиями привести к одной из формул, которые являются тавтологиями.

Замечание 2 . Некоторые тавтологии и равносильности объединены в пары (закон противоречия и закон альтернативы, коммутативный, ассоциативный законы и т.д.). В этих соответствиях проявляется так называемый принцип двойственности .

Две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, называются двойственными , если каждую из них можно получить из другой заменой знаков соответственно на .

Принцип двойственности утверждает следующее:

Теорема 2.2: Если две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, равносильны, то и двойственные им формулы также равносильны.

Нормальные формы

Нормальная форма – это синтаксически однозначный способ записи формулы, реализующей данную функцию.

Пользуясь известными законами логики, всякую формулу можно преобразовать в равносильную ей формулу вида , где и каждое – либо переменная, либо отрицание переменной, либо конъюнкция переменных или их отрицаний. Другими словами, любую формулу можно привести к равносильной ей формуле простого стандартного вида, которой будет являться дизъюнкция элементов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию отдельных различных логических переменных либо со знаком отрицания, либо без него.

Пример 2.3: В больших формулах или при многократных преобразованиях принято знак конъюнкции опускать (по аналогии со знаком умножения): . Мы видим, что после проведенных преобразований формула представляет собой дизъюнкцию трех конъюнкций.

Такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Отдельный элемент ДНФ называется элементарной конъюнкцией или конституентой единицы.

Аналогично любую формулу можно привести к равносильной ей формуле, которая будет являться конъюнкцией элементов, каждый из которых будет представлять собой дизъюнкцию логических переменных со знаком отрицания или без него. То есть, каждую формулу можно привести к равносильной ей формуле вида , где и каждое – либо переменная, либо отрицание переменной, либо дизъюнкция переменных или их отрицаний. Такая форма называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Пример 2.4:

Отдельный элемент КНФ называется элементарной дизъюнкцией или конституентой нуля.

Очевидно, что каждая формула имеет бесконечно много ДНФ и КНФ.

Пример 2.5: Найдем несколько ДНФ для формулы .

Совершенные нормальные формы

СДНФ (совершенная ДНФ) – это такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные конъюнкции не повторяются.

СКНФ (совершенная КНФ) – это такая КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные дизъюнкции не повторяются.

Пример 2.6: 1) – СДНФ

2) 1 - СКНФ

Сформулируем характерные признаки СДНФ (СКНФ).

1) Различны все члены дизъюнкции (конъюнкции);

2) Различны все члены каждой конъюнкции (дизъюнкции);

3) Ни одна конъюнкция (дизъюнкция) не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4) Каждая конъюнкция (дизъюнкция) содержит все переменные из числа входящих в исходную формулу.

Как мы видим, характерные признаки (но не формы!) удовлетворяют определению двойственности, поэтому достаточно разобраться с одной формой, чтобы научиться получать обе.

Из ДНФ (КНФ) с помощью равносильных преобразований легко можно получить СДНФ (СКНФ). Так как правила получения совершенных нормальных форм также являются двойственными, то подробно разберем правило получения СДНФ, а правило получения СКНФ сформулируйте самостоятельно, используя определение двойственности.

Общее правило приведения формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:

Для того чтобы привести формулу F , не являющуюся тождественно ложной, к СДНФ, достаточно:

1) привести ее к какой-нибудь ДНФ;

2) удалить члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если таковые имеются);

3) из одинаковых членов дизъюнкции (если таковые имеются) удалить все, кроме одного;

4) из одинаковых членов каждой конъюнкции (если такие имеются) удалить все, кроме одного;

5) если в какой-нибудь конъюнкции не содержится переменной из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой конъюнкции член и применить соответствующий дистрибутивный закон;

6) если в полученной дизъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием 3.

Полученная формула и является СДНФ данной формулы.

Пример 2.7: Найдем СДНФ и СКНФ для формулы .

Так как ДНФ для данной формулы уже найдена (см. Пример 2.5), то начнем с получения СДНФ:

2) в полученной дизъюнкции нет переменных вместе с их отрицаниями;

3) в дизъюнкции нет одинаковых членов;

4) ни в одной конъюнкции нет одинаковых переменных;

5) первая элементарная конъюнкция содержит все переменные из числа входящих в исходную формулу, а во второй элементарной конъюнкции не хватает переменной z , поэтому добавим в нее член и применим дистрибутивный закон: ;

6) легко заметить, что в дизъюнкции появились одинаковые члены, поэтому убираем один (предписание 3);

3) уберем одну из одинаковых дизъюнкций: ;

4) в оставшихся дизъюнкциях нет одинаковых членов;

5) ни в одной из элементарных дизъюнкций нет всех переменных из числа входящих в исходную формулу, поэтому дополним каждую из них конъюнкцией : ;

6) в полученной конъюнкции нет одинаковых дизъюнкций, поэтому найденная конъюнктивная форма является совершенной.

Так как в совокупности СКНФ и СДНФ формулы F 8 членов, то скорее всего они найдены верно.

Каждая выполнимая (опровержимая) формула имеет одну единственную СДНФ и одну единственную СКНФ. Тавтология не имеет СКНФ, а противоречие – СДНФ.

Определение. Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают оди­наковые логические значения на любом наборе значе­ний входящих в формулы элементарных высказыва­ний.

Равносильность формул будем обозначать знаком , а запись A В означает, что формулы A и В рав­носильны.

Например, равносильны формулы:

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией) , если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тожественно истинны формулы , .

Формула А называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тождественно ложна формула .

Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Между понятиями равносильности и эквивалентно­сти существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А В - тавтология, и обрат­но, если формула А В - тавтология, то формулы А и В равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

1. Основные равносильности:

Докажем один из законов поглощения. Рассмотрим формулу . Если в этой формуле а = 1 то, очевидно, и тогда как конъюнк­ция двух истинных высказываний. Пусть теперь вфор­муле А x = 0. Но тогда по определению операции конъ­юнкции будет ложной и конъюнкция . Итак, во всех случаях значения формулы А совпадают со зна­чениями а, а поэтому А x .

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4 соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания. Таким образом, в доказатель­стве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем две из них: первую и третью.

Так как при одинаковых логических значениях х и у истинными являются формулы , , , то истинной будет и конъюнкция . Сле­довательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

Пусть теперь х и у имеют различные логические значе­ния. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликаций или . То при этом

будет ложной и конъюнкция . Таким образом, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.

Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принима­ют одновременно истинные значения, то будет истинной конъюнкция х&у и ложным отрицание конъюнкции . В то же время будут ложными и и , а поэто­му будет ложной и дизъюнкция .

Пусть теперь хотя бы одна из переменных х или у принимает значение ложь. Тогда будет ложной конъюн­кция х&у и истинной ее отрицание. В то же время от­рицание хотя бы одной из переменных будет истинным, а поэтому будет истинной и дизъюнкция .

Следовательно, во всех случаях обе части равносиль­ности 3 принимают одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Из равносильностей этой группы следует, что вся­кую формулу алгебры логики можно заменить равно­сильной ей формулой, содержащей только две логичес­кие операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнк­цию и отрицание.

Дальнейшее исключение логических операций не­возможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х не может быть выражена с помощью операции конъ­юнкции.

Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических опера­ций, которыми мы пользуемся. Такой операцией являет­ся, например, операция «Штрих Шеффера». Эта опера­ция обозначается символом х|у и определяется следую­щей таблицей истинности:

Очевидно, имеют место равносильности:

2) х&у (х|у)|(х|у).

Из этих двух равносильностей следует, что всякая формула алгебры логики может быть заменена равно­сильной формулой, содержащей только операцию «Штрих Шеффера».

Отметим, что .

Аналогично может быть введена операция .

3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

1. х& у у&х - коммутативность конъюнкции.

2. x у y х - коммутативность дизъюнкции.

3. х& (у& г) (х& у)& z - ассоциативность конъюнк­ции.

4. х (y z) (х у) z- ассоциативность дизъюнк­ции.

5. х& (у z) (х& у) (х&z) - дистрибутивность конъ­юнкции относительно дизъюнкции.

6. х (y&z) (х y)& (x z) - дистрибутивность дизъ­юнкции относительно конъюнкции.

Докажем последний из перечисленных законов. Если х = 1, то будут истинными формулы х (у& z), х у, x z. Но тогда будет истинной и конъюнкция (х y)& (x z). Таким образом, при х = 1 обе части равносильности 6 принимают одинаковые логические значения (истинные).

Пусть теперь х = 0. Тогда х (у& z) y&z, x у у и x z z, а поэтому и конъюнкция х (y&z) y&z . Следовательно, здесь обе части равносильности 6 равно­сильны одной и той же формуле у&z, и поэтому прини­мают одинаковые логические значения.

§ 5. Равносильные преобразования формул

Используя равносильности I, II и III групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей форму­лой. Такие преобразования формул называются равносиль­ными.

Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

Формула А считается проще равносильной ей фор­мулы В, если она содержит меньше букв, меньше ло­гических операций. При этом обычно операции экви­валентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям. Рассмотрим ряд при­меров.

1. Доказать равносильность .

Используя равносильности I, II и III групп

2. Упростить формулу .

Запишем цепочку равносильных формул:

3. Доказать тождественную истинность формулы

Запишем цепочку равносильных формул:

Алгебра Буля

Равносильности III группы говорят о том, что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными за­конами относительно операций конъюнкции и дизъюнк­ции и дистрибутивным законом конъюнкции относитель­но дизъюнкции, эти же законы имеют место и в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел (раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя).

Но в алгебре логики возможны и другие преобразова­ния, основанные на использовании равносильностей:

Эта особенность позволяет прийти и к далеко иду­щим обобщениям.

Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы {x,y,z,... }, в котором определены отношение «=» (равно) и три операции: «+» (сложение), « » (умно­жение) и «-» (отрицание), подчиняющиеся следующим аксиомам:

Коммутативные законы:

1а. х + у = у + х, 1б. х у = у х.

Ассоциативные законы:

2а. х + (у + г) = (х + у) + z, 2б. х (у z) = (x y) z.

Дистрибутивные законы:

3а. (х + у) z = (х z) + (у г) 3б. (x y) + z = (x + z) (y + z).

Законы идемпотентности:

4а. х + х = х, 4б. х х = х.

Закон двойного отрицания:

Законы де-Моргана:

6а. , 6б. .

Законы поглощения:

7а. х + (у х) = х , 7б. х (у + х) = х.

Такое множество М называется булевой алгеброй.

Если под основными элементами х, у, z, ... подразу­мевать высказывания, под операциями «+», « », «-» дизъюнкцию, конъюнкцию, отрицание соответственно, а знак равенства рассматривать как знак равносильнос­ти, то, как следует из равносильностей I, II и III групп, все аксиомы булевой алгебры выполняются.

В тех случаях, когда для некоторой системы аксиом удается подобрать конкретные объекты и конкретные соотношения между ними так, что все аксиомы выпол­няются, говорят, что найдена интерпретация (или мо­дель) данной системы аксиом.

Значит, алгебра логики является интерпретацией бу­левой алгебры. Алгебра Буля имеет и другие интерпрета­ции. Например, если под основными элементами х, у, z, ... множества М подразумевать множества, под операци­ями «+», « », «-» объединение, пересечение, дополнение соответственно, а под знаком равенства - знак равенства множеств, то мы приходим к алгебре множеств. Нетруд­но убедиться, что в алгебре множеств все аксиомы алгеб­ры Буля выполняются.

Среди различных интерпретаций булевой алгебры имеются интерпретации и технического характера. Одна из них будет рассмотрена ниже. Как будет показано, она играет важную роль в современной автоматике.

Функции алгебры логики

Как уже отмечалось, значение формулы алгебры ло­гики полностью зависит от значений входящих в эту фор­мулу высказываний. Поэтому формула алгебры логики является функцией входящих в нее элементарных выска­зываний.

Например, формула является функцией

трех переменных f(x,y,z). Особенностью этой функции является то обстоятельство, что ее аргументы принима­ют одно из двух значений: ноль или единицу, и при этом функция также принимает одно из двух значений: ноль или единицу.

Определение. Функцией алгебры логики га перемен­ных (или функцией Буля) называется функция га пере­менных, где каждая переменная принимает два значе­ния: 0 и 1, и при этом функция может принимать толь­ко одно из двух значений: 0 или 1.

Ясно, что тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы вы­ражают одну и ту же функцию.

Выясним, каково число функций n переменных. Оче­видно, каждую функцию алгебры логики (как и формулу алгебры логики) можно задать с помощью таблицы ис­тинности, которая будет содержать 2 n строк. Следователь­но, каждая функция n переменных принимает 2 n значе­ний, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, фун­кция n переменных полностью определяется набором зна­чений из нулей и единиц длины 2 n .(Общее же число на­боров, состоящих из нулей и единиц, длины 2 n равно . Значит, число различных функций алгебры логики п переменных равно .

В частности, различных функций одной переменной четыре, а различных функций двух переменных шест­надцать. Выпишем все функции алгебры логики одной и двух переменных.

Рассмотрим таблицу истинности для различных функций одной переменной. Она, очевидно, имеет вид:

Из этой таблицы следует, что две функции одной пе­ременной будут постоянными: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, а f 2 (x) х, иf 3 (x) .

Таблица истинности для всевозможных функций двух переменных имеет вид:

f i = f i (x,y)

Ясно, что аналитические выражения этих функций могут быть записаны следующим образом.

Позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям , по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.

Равносильные уравнения, определение, примеры

Дадим определение равносильных уравнений.

Определение

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,

Определение

Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными , если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) .

Определение

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями . Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными .

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.

Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8 , 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2 , поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2 , множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x 4 =−1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.

Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x 2 =4 , так как второе уравнение имеет корень −2 , который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.

Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,

Определение

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.

Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x 2 +y 2 +z 2 =0 и 5·x 2 +x 2 ·y 4 ·z 8 =0 - вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x , y и z , они оба имеют единственное решение (0, 0, 0) . А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2 , y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5 ), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1 ).

Уравнения-следствия

Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:

Определение

Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x) , то уравнение p(x)=h(x) называют следствием уравнения f(x)=g(x) .

Определение

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения .

Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x 2 =3 2 является следствием уравнения x−3=0 . Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3 , этот корень является и корнем уравнения x 2 =3 2 , поэтому по определению уравнение x 2 =3 2 – это следствие уравнения x−3=0 . Другой пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 – это следствие уравнения , так как все корни второго уравнения (их два, это 2 и 3 ), очевидно, являются корнями первого уравнения.

Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.

Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:

• Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
• Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
• Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Открытый урок по математике "Схема Бернули. Решение задач по схеме Бернули и Лапласа"

Дидактическая: приобретение умений и навыков работы со схемой Бернулли для вычисления вероятностей.

Развивающая: развитие навыков применения знаний на практике, формирование и развитие функционального мышления студентов, развитие навыков сравнения, анализа и синтеза, навыков работы в паре, расширение профессионального лексикона.

Как можно поиграть в эту игру:

Воспитательная: воспитание интереса к предмету через практическое применение теории, достижение сознательного усвоения учебного материала студентов, формирование умения работать в коллективе, правильного использования компьютерных терминов, интереса к науке, уважения к будущей профессии.

Научность знаний: Б

Тип урока: комбинированное занятие:

• закрепление пройденного на предыдущих занятиях материала;
• тематическая, информационно-проблемная технология;
• обобщение и закрепление изученного на данном занятии материала.

Метод обучения: объяснительно – иллюстративный, проблемный.

Контроль знаний: фронтальный опрос, решение задач, презентация.

Материально-техническое оснащение урока. компьютер, мультимедийный проектор.

Методическое обеспечение: справочные материалы, презентация по теме урока, кроссворд.

Ход урока

1. Организационный момент: 5 мин.

(приветствие, готовность группы к занятию).

2. Проверка знаний:

Проверить фронтально по слайдам вопросы: 10 мин.

• определения раздела “Теория вероятностей”
• основное понятие раздела “Теория вероятностей”
• какие события изучает “Теория вероятностей”
• характеристика случайного события
• классическое определение вероятностей

Подведение итогов. 5 мин.

3. Решение задач по рядам: 5 мин.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадает четное и меньшее 5 число очков?

Задача 2. В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

Задача 3. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе 1-го зала есть билеты, равна 0,3, в кассе 2-го зала – 0,2, а в кассе 3-го зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?

4. Проверка у доски способов решения задач. Приложение 1. 5 мин.

5ю Вывод по решению задач:

Вероятность появления события одинаковая для каждой задачи: m и n – const

6. Целеполагание через задачу: 5 мин.

Задача. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Какова вероятность выиграть две партии из четырех?

Какова вероятность выиграть три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Вопрос. Подумайте и назовите, чем отличаются вопросы данной задачи от вопросов предыдущих задач?

Рассуждением, сравнением добиться ответа: в вопросах m и n – разные.

7. Тема урока:

Вычисление вероятности появления события к раз из n опытов при р-const.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0

или Приложение 2 формула Бернулли, где k,n-малые числа где q = 1-p

Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. 5 мин

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Так как P4 (2)> P6 (3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

8. Задача.

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

k=70, n=243 Отсюда следует k и n — большие числа. Значит, по формуле Бернулли считать сложно. Для таких случаев применяется локальная формула Лапласа:

Приложение 3 для положительных значений х приведена в приложении 4 ; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей и = .

9. Составляем алгоритм решения задачи: 5 мин.

• найдем значение х и округляем до сотых (0,01);
• по таблице функции Лапласа найдем;
• подставим значение функции Лапласа в формулу Лапласа

10. Решение задачи с разбором у доски. Приложение 5. 10 мин.

11. Обобщение информации урока через презентации

• краткая информация о разделе “Теория вероятностей”; 5 мин.
• исторические материалы об ученых Бернулли и Лапласе. 5 мин.