Термодинамические основы термоупругости. Граничные и начальные условия Для чего нужны граничные условия

Начальные условия

Для возможности отсчета изменений температуры в точках тела в ту или другую сторону в последующие моменты времени должно быть задано исходное начальное термическое состояние для его каждой точки. Другими словами, должна быть задана непрерывная или разрывная функция координат Т0 (х, у, z), полностью описывающая температурное состояние во всех точках тела в начальный момент времени t = 0, и искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением дифференциального уравне­ния (1.8), должна удовлетворять начальному условию

Т (х, у, z, 0i=o = Т0 (х, у, z). (1.11)

Граничные условия

Теплопроводящее тело может находиться в различных условиях внешнего термического воздействия через его поверхность. По­этому из всех решений дифференциального уравнения (1.8) нужно выбрать то, которое удовлетворяет данным условиям на поверхности S, т. е. данным конкретным граничным условиям. Используются следующие формы математического задания гра­ничных условий.

1. Температура в каждой точке поверхности тела может изме­няться с течением времени по конкретному заданному закону, т. е. температура поверхности тела будет представлять непрерыв­ную (или разрывную) функцию координат и времени Ts (х, у, z, і). При этом искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением уравнения (1.8), должна удовлетворять граничному условию

Т (х, у, z, 0 Is = Ts (х, у, z, і). (1.12)

В простейших случаях температура на поверхности тела 7 (х, у, z, t) может быть периодической функцией времени или она может быть постоянной.

2. Известен поток тепла через поверхность тела как непре­рывная (или разрывная) функция координат точек поверхности и времени qs (х, у, z, I). Тогда функция Т (х, у, г, I) должна удов­летворять граничному условию:

X grad Т (х, у, z, 0U = Qs (*. У> г> 0- (1 -13)

3. Заданы температура окружающей среды Та и закон тепло­обмена между окружающей средой и поверхностью тела, в ка­честве которого для простоты используется закон Ньютона. В соответствии с этим законом количество теплоты dQ, отдаваемое

за время dt элементом поверхности dS с температурой

Ts (х, у, z, t) в окружающую среду, определяется по формуле

dQ = k (Ts - Та) dS dt, (1.14)

где k - коэффициент теплоотдачи в кал/см2 - сек-°С. С другой сто­роны, в соответствии с формулой (1.6), это же количество тепла подводится к элементу поверхности изнутри и определяется ра­венством

dQ = - х (grad„ 7")s dS dt. (1.15)

Приравнивая (1.14) и (1.15), получим, что искомая функция Т (х, у, z, t) должна удовлетворять граничному условию

(gradnr)s = -±-(Ts-Та). (1.16)

Как отмечалось выше, при стыковании на монтаже двух сек­ций конструкции условия для выполнения сварки являются наиболее тяжелыми. Выполнение сварки всего сечения одно­временно- совершенно невозможно, а поэтому после наложения части швов …

Если на общие деформации сварных конструкций большое влияние оказывает последовательность наложения отдельных швов, то на местные деформации и деформации из плоскости свариваемых листов существенное влияние оказывает метод выполнения каждого шва. …

Как отмечалось выше, при сварке сложных составных сече­ний и конструкций характер возникающих деформаций зависит от порядка наложения швов. Поэтому одним из основных средств борьбы с деформациями при изготовлении сварных конструкций …

U| x=0 = g 1 (t), U| x=l = g 2 (t)

Эти условия физически означают, что на концах заданы режимы колебаний.

II. Граничные условия второго рода

U x | x=0 = g 1 (t), U x | x=l = g 2 (t)

Такие условия соответствуют тому, что на концах заданы силы.

III. Граничные условия третьего рода

(U x -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U x –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Эти условия соответствуют упругому закреплению концов.

Граничные условия (5), (6) и (7) называются однородными, если правые части g 1 (t) и g 2 (t) тождественно равны нулю при всех значениях t. Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными.

Аналогично формулируются граничные условия и в случае трех или четырех переменных при условии, что одна из этих переменных - время. Границей в этих случаях будет или замкнутая кривая Г, ограничивающая некоторую плоскую область, или замкнутая поверхность Ω, ограничивающая область в пространстве. Соответственно изменится и производная от функции, фигурирующая в граничных условиях второго и третьего рода. Это будет производная по нормали n к кривой Г на плоскости или к поверхности Ω в пространстве, причем, как правило, рассматривают нормаль, внешнюю по отношению к области(см.рис.5).

К примеру, граничное условие (однородное) первого рода на плоскости записывается в виде U| Γ =О, в пространствеU| Ω =0. Граничное условие второго рода на плоскости имеет вид ,а в пространстве . Конечно, физический смысл этих условий разный для различных задач.

При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называетсяпервой начально-краевой задачей для волнового уравнения . Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей . Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными .

Рассмотрим две типичных электростатических задачи :

1) Найти потенциал электрического поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. (Например, задача о распределении потенциала электрического поля, создаваемого системой неподвижных проводников, помещенных в вакуум и подключенных к батареям. Здесь можно измерить потенциал каждого проводника, но задать распределение электрических зарядов на проводниках, зависящее от их формы, весьма сложно.)

2) Найти потенциал электрического поля, создаваемого заданным распределением в пространстве электрических зарядов .

Хорошо известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Лапласа (задача 1)

(1)

и уравнения Пуассона (задача 2)

. (2)

Уравнения (1), (2) относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа .

Далее мы будем рассматривать только частный случай эллиптических уравнений для поля  , зависящего от двух пространственных переменных. Совершенно очевидно, что для полного решения задачи уравнения (1), (2) необходимо дополнить граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1) граничные условия Дирихле (значения  задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (х,у) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых, расположенных внутри области (рис. 1));

2) граничные условия Неймана (на границе задается нормальная производная потенциала );

3) смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала  и его нормальной производной).

Начальные и граничные условия. Неотъемлемым и важнейшим элементом постановки любой задачи механики сплошных сред является формулировка начальных и граничных условий. Их значение определяется тем, что та или иная система разрешающих уравнений описывает целый класс движений соответствующей деформируемой среды, и лишь задание отвечающих исследуемому процессу начальных и граничных условий позволяет выделить из этого класса представляющий интерес частный случай, соответствующий решаемой практической задаче.

Начальные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых характеристических функций в момент начала рассмотрения исследуемого процесса. Количество задаваемых начальных условий определяется количеством основных неизвестных функций, входящих в систему разрешающих уравнений, а также порядком входящей в эту систему высшей производной по времени. Например, адиабатическое движение идеальной жидкости или идеального газа описывается системой шести уравнений с шестью основными неизвестными -- тремя компонентами вектора скорости,давлением,плотностью и удельной внутренней энергией, при этом порядок производных этих физических величин по времени не превышает первый порядок. Соответственно этому в качестве начальных условий должны быть заданы начальные поля этих шести физических величин: при t =0 ,. В некоторых случаях (например, в динамической теории упругости) в качестве основных неизвестных в системе разрешающих уравнений используются не компоненты вектора скорости, а компоненты вектора перемещения, а уравнение движения содержит производные второго порядка компонент перемещения, что требует задания двух начальных условий для искомой функции: при t = 0

Более сложным и разнообразным образом при постановке задач механики сплошных сред задаются граничные условия. Граничные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых функций (или их производных по координатам и времени) на поверхности S области, занимаемой деформируемой средой. Различают граничные условия нескольких типов: кинематические, динамические, смешанные и температурные.

Кинематические граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S тела (или ее части) задаются перемещения или скорости где -- координаты точек поверхности S, изменяющиеся в общем случае в зависимости от времени.

Динамические граничные условия (или граничные условия в напряжениях) задаются, когда на поверхности S действуют поверхностные силы р. Как следует из теории напряжений, в этом случае на любой элементарной площадке поверхности с единичным вектором нормали п вектор удельных поверхностных сил рп принудительно задает вектор полного напряжения?п = рn, действующий в сплошной среде в точке на данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязи тензора напряжений (?) в этой точке с поверхностной силой и ориентацией вектора п соответствующего участка поверхности: (?) · п = рп или.

Смешанные граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S задаются значения и кинематических, динамических величин или устанавливаются взаимосвязи между ними.

Температурные граничные условия подразделяются на несколько групп (родов). Граничные условия первого рода задают на поверхности S деформируемой среды определенные значения температуры Т. Граничные условия второго рода задают на границе вектор теплового потока q, что с учетом закона теплопроводности Фурье q = -- ? grad T, по существу, накладывает ограничения на характер температурного распределения в окрестности граничной точки. Граничные условия третьего рода устанавливают зависимость между вектором теплового потока q, направленным к данной среде со стороны окружающей среды, и температурным перепадом между этими средами и т.д.

Следует отметить, что постановка и решение большинства задач физики быстропротекающих процессов, как правило, осуществляются в адиабатическом приближении, поэтому температурные граничные условия используются достаточно редко, в основном в различных сочетаниях применяются кинематические, динамические и смешанные граничные условия. Рассмотрим возможные варианты задания граничных условий на частном примере.

На рис. 3 схематично представлен процесс взаимодействия при проникании деформируемого тела I в деформируемую преграду II. Тело I ограничено поверхностями S1 и S5, а тело II -- поверхностями S2, S3, S4, S5. По -верхность S5 является границей раздела взаимодействующих деформируемых тел. Будем полагать, что движение тела I до начала взаимодействия, а также в его процессе происходит в жидкости, создающей определенное гидростатическое давление

Рисунок 3

и задающей внешние по отношению к обоим телам поверхностные силы рп = -- рп= -- рni ri, действующие на любой из элементарных площадок поверхностей S1 тела I и S2 преграды II, граничащих с жидкостью. Будем также считать, что поверхность Sз преграды жестко закреплена, а поверхность S4 свободна от действия поверхностных сил (рп = 0).

Для приведенного примера на различных поверхностях, ограничивающих деформируемые среды I и II, должны задаваться граничные условия всех трех основных типов. Очевидно, что на жестко закрепленной поверхности Sз следует задать кинематические граничные условия?(S3) = ?(, t) = 0. Граничные условия на поверхностях S1 и S2 однотипны и относятся к динамическим условиям, накладывающим ограничения на компоненты тензора напряжений в граничных точках соответствующих тел: или Компоненты тензора напряжений на поверхности S4 преграды также не могут быть произвольными, а взаимосвязаны с ориентацией ее элементарных площадок как.

Граничные условия на границе раздела (поверхность S5) взаимодействующих деформируемых сред являются наиболее сложными и относятся к условиям смешанного типа, включающим, в свою очередь, кинематическую и динамическую части (см. рис. 3). Кинематическая часть смешанных граничных условий накладывает ограничения на скорости движения индивидуальных точек обеих сред, находящихся в контакте в каждой пространственной точке поверхности S5. Возможны два варианта задания этих ограничений, проиллюстрированные на рис. 4, а и б. По наиболее простому первому варианту предполагается, что скорости движения любых двух находящихся в контакте индивидуальных точек одинаковы (? = ?) -- это так называемое условие "прилипания", или условие "сварки" (см. рис. 4, а). Более сложным и в то же время более адекватным для рассматриваемого процесса является задание условия "непроницаемости", или условия "непротекания" (? · n= ? · n; см. рис. 4, б), которое соответствует экспериментально подтверждающемуся факту: взаимодействующие деформируемые среды не могут проникать

Рисунок 4

друг в друга или отставать друг от друга, а могут проскальзывать одна относительно другой со скоростью? - ?, направленной по касательной к границе раздела ((?I - ?II) · n = 0). Динамическая часть смешанных граничных условий на границе раздела двух сред формулируется на основе третьего закона Ньютона с использованием соотношений теории напряжений (рис. 4, в). Так, в каждой из двух находящихся в контакте индивидуальных частиц деформируемых сред I и II реализуется свое напряженное состояние, характеризуемое тензорами напряжений (?)I и (?) II.При этом в среде I на каждой элементарной площадке границы раздела с единичным вектором нормали nII, внешней по отношению к данной среде, действует вектор полного напряжения?nI = (?)·nI. В среде II на той же площадке, но с единичным вектором нормали nII , внешней по отношению к этой среде, действует вектор полного напряжения?nII =(?)II · пII. С учетом взаимности действия и противодействия?nI = - ? n II , а также очевидного условия nI = --nII = n устанавливается взаимосвязь между тензорами напряжений в обеих взаимодействующих средах на границе их раздела: (?)I · п = (?) II ·п или же (?ijI - ?ijII) nj = 0.Возможные варианты задания граничных условий не исчерпываются рассмотренным частным примером. Вариантов задания начальных и граничных условий столь же много, сколь много существует в природе и технике процессов взаимодействия деформируемых тел или сред. Они определяются особенностями решаемой практической задачи и задаются в соответствии с приведенными выше общими принципами.

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Границы могут быть непроницаемыми для жидкостей или газов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.

Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

Граничные условия первого рода . На границе задаются значения давления:

Так, как по закону Дарси скорость фильтрации связана с градиентом давления, то это граничное условие можно записать в следующем виде:

Рассмотрим граничные условия в случае притока к галерее. Галерея имеет две границы, одна при x = 0 , а вторая (контур питания) x = L . Поэтому необходимо поставит по одному граничному условию на каждой границе. На контуре питания ставится условие постоянство давления или условие непроницаемости границы

Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде:

Второе граничное условие можно записать в виде:

Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде.

Определяет температуру на поверхности тела в любой момент времени, то есть

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Рис. 2.4 – Изотермическое граничное условие.

Как бы не изменялась температура внутри тела, температура точек на поверхности подчиняется уравнению (2.15).

Кривая распределения температуры в теле (рис. 2.4) на границе тела имеет заданную ординату T s , которая может изменяться во времени. Частным случаем граничного условия первого рода является изотермическое граничное условие, при котором температура поверхности тела остается в течение всего процесса теплопередачи постоянной:

T s = const.

Рис. 2.5 – Условие первого рода

Чтобы представить себе такое состояние тела необходимо предположить, что симметрично источнику тепла, действующему в теле, действует другой, фиктивный источник тепла вне его с отрицательным знаком (так называемый сток тепла). Причем свойства этого стока теплоты в точности совпадают со свойствами действительного источника тепла, а распределение температур описывается одинаковым математическим выражением. Суммарное действие этих источников приведет к тому, что на поверхности тела установится постоянная температура, в частном случае Т = 0 8С , в то время как в пределах тела температура точек непрерывно меняется.

Граничное условие второго рода

Определяет плотность теплового потока в любой точке поверхности тела в любой момент времени, т.е.

По закону Фурье плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры. Поэтому температурное поле на границе имеет заданный градиент (рис. б), в частном случае постоянные, когда

Частным случаем граничного условия второго рода является адиабатическое граничное условие, когда тепловой поток через поверхность тела равен нулю (рис. 2.6), т.е.

Рис. 2.6 - Граничное условие второго рода

В технических расчетах часто встречаются случаи, когда тепловой поток с поверхности тела мал по сравнению с потоками внутри тела. Тогда можно принять эту границу как адиабатическую. При сварке такой случай может быть представлен следующей схемой (Рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Условие второго рода

В точке О действует источник тепла. Чтобы выполнить условие – граница не пропускает тепло, необходимо симметрично этому источнику поместить такой же источник вне тела, в точке О 1 , причем тепловой поток от него направлен против потока основного источника. Они взаимно уничтожаются, то есть граница тепла не пропускает. Однако температура края тела окажется вдвое больше, если бы это тело было бесконечным. Этот прием компенсации теплового потока носит название метода отражения, так как в этом случае теплонепроницаемая граница, может рассматриваться как граница, отражающая тепловой поток, идущий со стороны металла.

Граничное условие третьего рода.

Определяет температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Наиболее простую форму граничного условия третьего рода получим, если теплообмен на границе зададим уравнение Ньютона, которое выражает, что плотность теплового потока теплоотдачи через граничную поверхность прямо пропорциональную разности температур граничной поверхности и окружающей среды

Плотность теплового потока, подтекающая к граничной поверхности со стороны тела, по закону Фурье прямо пропорционально градиенту температуры на граничной поверхности:

Приравнивая поток теплоты, поступающей со стороны тела, к потоку теплоотдачи, получаем граничное условие 3-го рода:

,

выражающее, что градиент температуры на граничной поверхности прямо пропорционален перепаду температуры между поверхностью тела и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в граничной точке переходит через направляющую точку О с температурой , находящуюся вне тела на расстоянии от граничной поверхности (рис. 2.8).

Рисунок 2.8 – Граничное условие 3 рода

Из граничного условия 3-го рода можно получить как частный случай изотермическое граничное условие. Если , что имеет место при очень большом коэффициенте теплоотдачи или очень малом коэффициенте теплопроводности , то:

и , т.е. температура поверхности тела постоянна в течение всего процесса теплообмена и равна температуре окружающей среды.