Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области Наибольшее и наименьшее значение на интервале

Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b ], либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b ] необходимо:

1)найти критические точки функции в интервале (a, b );

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x = а и х = b ;

4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Находим критические точки:

Эти точки лежат внутри отрезка ; y (1) = ‒ 3; y (2) = ‒ 4; y (0) = ‒ 8; y (3) = 1;

в точке x = 3 и в точкеx = 0.

Исследование функции на выпуклость и точку перегиба.

Функция y = f (x ) называется выпуклойвверх на промежутке (a , b ) , если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой) , если ее график лежит над касательной.

Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба .

Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:

1. Найдеми критические точки второго рода, то есть точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.

2. Нанести критические точки на числовую прямую, разбивая ее на промежутки. Найти знак второй производной на каждом промежутке; если , то функция выпуклая вверх, если, то функция выпуклая вниз.

3. Если при переходе через критическую точку второго рода поменяет знак и в этой точке вторая производная равна нулю, то эта точка ‒ абсцисса точки перегиба. Найти ее ординату.

Асимптоты графика функции. Исследование функции на асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от любой точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции у = f (х) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть

где ‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.

Пример.

D (y ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x = 2 ‒ точка разрыва.

Определение. Прямая у = A называется горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) при , если

Пример.

Определение. Прямая у = k х + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при , где

Общая схема исследования функций и построения графиков.

Алгоритм исследования функции у = f (х) :

1. Найти область определения функцииD (y ).

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0).

3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒ x ) = y (x ) ‒ четность; y (‒ x ) = ‒ y (x ) ‒ нечетность).

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы монотонности функции.

6. Найти экстремумы функции.

7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

8. На основании проведенных исследований построить график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) D (y ) =

x = 4 ‒ точка разрыва.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy .

При y = 0,

3) y (‒ x )= функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4) Исследуем на асимптоты.

а) вертикальные

б) горизонтальные

в) найдем наклонные асимптоты где

‒уравнение наклонной асимптоты

5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции.

6)

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

Из таблицы видно, что точках = ‒2‒точка максимума, в точкех = 4‒нет экстремума, х = 10 ‒точка минимума.

Подставим значение (‒ 3) в уравнение:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Максимум этой функции равен

(‒ 2; ‒ 4) ‒ экстремум максимальный.

Минимум этой функции равен

(10; 20) ‒ экстремум минимальный.

7) исследуем на выпуклость и точку перегиба графика функции

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

• Найти производную функции.
• Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
• Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
• Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

• Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
• Производная функции равна: y’ = 3x 2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
• Нули производной: y’ = 3x 2 – 36x + 81 = 0, значит x 2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x (x -9) 2 +23:
  • y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
• Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
• Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \(\) , необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f">0\) ) и убывания (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \(\) , а также на его концах.

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции - это значение координаты \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Производная сложной функции \(f(t(x))\) ищется по правилу: \[{\Large{f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f"(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\ \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f"(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\ \hline \end{array}\]

Задание 1 #2357

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{x^2 - 4}\) на отрезке \([-10; -2]\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \

\ Таким образом, \(y" = 0\) при \(x = 0\) .

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \([-10; -2]\) :

4) Эскиз графика на отрезке \([-10; -2]\) :

Таким образом, наименьшего на \([-10; -2]\) значения функция достигает в \(x = -2\) .

\ Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-10; -2]\) .

Ответ: 1

Задание 2 #2355

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(y = \sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2 + 1}\) на отрезке \([-1; 1]\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\) .

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \([-1; 1]\) :

4) Эскиз графика на отрезке \([-1; 1]\) :

Таким образом, наибольшего на \([-1; 1]\) значения функция достигает в \(x = -1\) или в \(x = 1\) . Сравним значения функции в этих точках.

\ Итого: \(2\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([-1; 1]\) .

Ответ: 2

Задание 3 #2356

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \cos 2x\) на отрезке \(\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb{Z}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{\pi n}{2}, n\in\mathbb{Z}\,.\] Производная существует при любом \(x\) .

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

(здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной).

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \(\) :

4) Эскиз графика на отрезке \(\) :

Таким образом, наименьшего на \(\) значения функция достигает в \(x = \dfrac{\pi}{2}\) .

\ Итого: \(-1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \(\) .

Ответ: -1

Задание 4 #915

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -\log_{17}(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2)\) .

ОДЗ: \(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 > 0\) . Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(2x^2-2\sqrt{2}x+2=t(x)\) , тогда \(y(t)=-\log_{17}t\) .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt{2} = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) . Производная функции \(y\) не существует при \(2x^2-2\sqrt{2}x+2 = 0\) , но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

3) Эскиз графика:

Таким образом, наибольшее значение функция достигает в \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :

\(y\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\log_{17}1 = 0\) ,

Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) .

Ответ: 0

Задание 5 #2344

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции

\(y = \log_{3}(x^2 + 8x + 19)\) .

ОДЗ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , тогда \(y(t)=\log_{3}t\) .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1}{\ln 3}\cdot\dfrac{2x+8}{x^2 + 8x + 19} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = -4\) . Производная функции \(y\) не существует при \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

3) Эскиз графика:

Таким образом, \(x = -4\) – точка минимума функции \(y\) и наименьшее значение достигается в ней:

\(y(-4) = \log_{3}3 = 1\) .

Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) .

Ответ: 1

Задание 6 #917

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -e^{(x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2)}\) .

Дана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.

Теоретические основы.
Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

Пояснение:
1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
Замечание:

«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».

Алгоритм решения задачи 2.



4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Пример 4:

Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение:
1) Найти производную функции .

2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.

4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .

Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .

В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.


Замечание: Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.

Частный случай.

Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.

На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Наименьшее значение — на левой границе отрезка, наибольшее — на правой.