Случаи целесообразности применения метода анализа размерностей. Анализ размерностей и метод аналогий

Следует подчеркнуть, что конечная цель в рассматриваемом случае остается прежней: нахождение чисел подобия, по которым следует вести моделирование, но решается она при существенно меньшем объеме информации о характере процесса.

Для уяснения дальнейшего кратко рассмотрим некоторые основополагающие понятия. Обстоятельное изложение можно найти в книге А.Н.Лебедева «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.

Любой материальный объект обладает рядом свойств, которые допускают количественное выражение. При этом каждое из свойств характеризуется размером определенной физической величины. Единицы некоторых физических величин можно выбирать произвольно, и с их помощью представлять единицы всех остальных. Физические единицы, выбираемые произвольно, называют основными . В международной системе (применительно к механике) это - килограмм, метр и секунда. Остальные величины, выраженные через эти три, называют производными .

Основная единица может обозначаться либо символом соответствующей величины, либо специальным символом. Например, единицы длины - L , единицы массы - M , единица времени - T . Либо, единица длины - метр (м), единица массы - килограмм (кг), единица времени - секунда (с).

Под размерностью понимают символическое выражение (иногда его называют формулой) в виде степенного одночлена, связывающее производную величину с основными. Общий вид этой закономерности имеет вид

где x , y , z - показатели размерности.

Например, размерность скорости

Для безразмерной величины все показатели , и, следовательно, .

Два следующих утверждения достаточно ясны и не нуждаются в каких-либо специальных доказательствах.

Отношение размеров двух объектов является величиной постоянной вне зависимости от того, в каких единицах они выражаются. Так, например, если отношение площади, занимаемой окнами, к площади стен составляет 0,2, то этот результат останется неизменным, если сами площади выражать в мм2, м2или км2.

Второе положение можно сформулировать следующим образом. Любое правильное физическое соотношение должно быть размерностно однородным. Это означает, что все члены, входящие как в правую, так и в левую его части должны иметь одинаковую размерность. Это простое правило четко реализуется в житейском обиходе. Все осознают, что метры можно складывать только с метрами и никак не с килограммами или с секундами. Нужно четко представлять, что правило остается справедливым и при рассмотрении даже самых сложных уравнений.

Метод анализа размерностей базируется на так называемой -теореме (читается: пи-теорема). -теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так:

Любая функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде зависимости между N безразмерными комплексами (числами ), составленными из этих величин. Число этих комплексов , где n - число основных единиц. Как уже отмечалось выше, в гидромеханике (кг, м, с).

Пусть, например, величина А является функцией пяти размерных величин (), т.е.

(13.12)

Из -теоремы следует, что эта зависимость может быть преобразована в зависимость, содержащую два числа ()

(13.13)

где и - безразмерные комплексы, составленные из размерных величин.

Эту теорему иногда приписывают Бэкингему и называют -теоремой Бэкингема. В действительности в её разработку внесли вклад многие крупные ученые, в том числе Фурье, Рябушинский, Рэлей.

Доказательство теоремы выходит за рамки курса. При необходимости оно может быть найдено в книге Л.И.Седова «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с. Подробное обоснование метода приводится и в книге В.А.Веникова и Г.В.Веникова «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая шко­ла, 1984. -439 с. Особенностью этой книги является то, что помимо вопросов, связанных с подобием, в нее включены сведения о методике постановки эксперимента и обработки его результатов.

Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функциональной зависимости вида (13.12), которая на следующем этапе обрабатывается специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел (чисел подобия).

Основным, носящим творческий характер, является первый этап, так как получаемые результаты зависят от того, насколько правильно и полно представление исследователя о физической природе процесса. Другими словами, насколько функциональная зависимость (13.12) правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс. Любая ошибка здесь неизбежно приводит к ошибочным выводам. В истории науки известна так называемая «ошибка Рэлея». Суть ее в том, что изучая задачу о теп­лообмене при турбулентном течении, Рэлей не учел влияние вязкости потока, т.е. не включил её в зависимость (13.12). В результате в конечные соотношения, полученные им, не вошло число подобия Рейнольдса, играющее исключительно важную роль в теплообмене.

Для уяснения сущности метода рассмотрим пример, иллюст­рирующий как общий подход к задаче, так и способ получения чисел подобия .

Необходимо установить вид зависимости, позволяющий определить потери давления либо напора при турбулентном течении в круглых трубах.

Напомним, что эта задача уже рассматривалась в разделе 12.6. Поэтому представляет несомненный интерес установить, как она может быть разрешена с помощью анализа размерностей и дает ли это решение какую-то новую информацию.

Ясно, что падение давления вдоль трубы, обусловленное затратами энергии на преодоление сил вязкого трения обратно пропорционально её длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не , а , т.е. потери давления на единицу длины трубы. Напомним, что отношение , где - потери напора, носит название гидравлического уклона.

Из представлений о физической сущности процесса можно предположить что возникающие потери должны зависеть: от средней скорости течения рабочей среды (v); от размера трубопровода, определяемого его диаметром (d ); от физических свойств транспортируемой среды, характеризуемых её плотностью () и вязкостью (); и, наконец, разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхностью трубы, т.е. с шероховатостью (k ) ее стенок. Таким образом, зависимость (13.12) в рассматриваемом случае имеет вид

(13.14)

На этом и заканчивается первый и, нужно подчеркнуть, наиболее ответственный этап анализа размерностей.

В соответствии с -теоремой, число влияющих параметров, входящих в зависимость, . Следовательно, число безразмерных комплексов , т.е. после соответствующей обработки (13.14) должна принять вид

(13.15)

Существует несколько способов нахождения чисел . Мы воспользуемся методом, предложенным Рэлеем.

Основным достоинством его является то, что он представляет собой своеобразный алгоритм, приводящий к решению задачи.

Из параметров, входящих в (13.15) необходимо выбрать три любых, но так, чтобы в них входили основные единицы, т.е. метр, килограмм и секунда. Пусть ими будут v, d , . Легко убедиться, что они удовлетворяют поставленному требованию.

Образуются числа в виде степенных одночленов из выбранных параметров, умноженных на один из оставшихся в (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Теперь задача сводится к нахождению всех показателей степеней. При этом они должны быть подобраны так, чтобы числа были безразмерны.

Для решения этой задачи определим прежде всего размерности всех параметров:

; ;

Вязкость , т.е. .

Параметр , и .

И, наконец, .

Таким образом, размерности чисел будут

Аналогично два других

В начале раздела 13.3 уже отмечалось, что для любой безразмерной величины показатели размерности . Поэтому, например, для числа можем записать

Приравнивая показатели степеней, получаем три уравнения с тремя неизвестными

Откуда находим ; ; .

Подставляя эти значения в (13.6), получаем

(13.19)

Действуя аналогично, легко показать, что

и .

Таким образом, зависимость (13.15) принимает вид

(13.20)

Так как есть неопределяющее число подобия (число Эйлера), то (13.20) можно записать как функциональную зависимость

(13.21)

Следует иметь в виду, что анализ размерностей не дает и принципиально не может дать каких-то числовых значений в получаемых с его помощью соотношениях. Поэтому он должен завершаться анализом результатов и при необходимости их корректировкой, исходя из общих физических представлений. Рассмотрим с этих позиций выражение (13.21). В правую его часть входит квадрат скорости, но эта запись не выражает ничего, кроме того, что скорость возводится в квадрат. Однако, если поделить эту величину на два, т.е. , то как известно из гидромеханики, она приобретает важный физический смысл: удельной кинетической энергии, а - динамическое давление, обусловленное средней скоростью. С учетом этого (13.21) целесообразно записать в виде

(13.22)

Если теперь, как в (12.26), обозначить буквой , то приходим к формуле Дарси

(13.23)

(13.24)

где - гидравлический коэффициент трения, который, как следует из (13.22), является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости (k/d ). Вид этой зависимости может быть найден только экспериментальным путем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.

2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.

3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.

4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.

5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.

6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.

9. А.С. Монин, А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.

12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.

13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.

14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.

15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.

16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.

17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.

18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая шко­ла, 1984. -439 с.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ................................................................................................ 3

1.1. Векторы и операции над ними................................................... 4

1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля). ......................................................................................................... 5

1.3. Операции второго порядка........................................................ 6

1.4. Интегральные соотношения теории поля.................................. 7

1.4.1. Поток векторного поля.................................................. 7

1.4.2. Циркуляция вектора поля.............................................. 7

1.4.3. Формула Стокса............................................................. 7

1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.................................. 7

2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЖИДКОСТИ. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ........................................................................... 8

2.1. Плотность.................................................................................... 8

2.2. Вязкость....................................................................................... 9

2.3. Классификация сил.................................................................... 12

2.3.1. Массовые силы............................................................. 12

2.3.2. Поверхностные силы.................................................... 12

2.3.3. Тензор напряжения...................................................... 13

2.3.4. Уравнение движения в напряжениях........................... 16

3. ГИДРОСТАТИКА................................................................................. 18

3.1. Уравнение равновесия жидкости.............................................. 18

3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме. ......................................................................................................... 19

3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления. ......................................................................................................... 20

3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатический закон распре­деления давления... 20

3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.... 22

3.5.1. Плоская поверхность.................................................... 24

4. КИНЕМАТИКА..................................................................................... 26

4.1. Установившееся и неустановившееся движение жидкости...... 26

4.2. Уравнение неразрывности (сплошности)................................. 27

4.3. Линии тока и траектории.......................................................... 29

4.4. Трубка тока (поверхность тока)............................................... 29

4.5. Струйная модель потока........................................................... 29

4.6. Уравнение неразрывности для струйки................................... 30

4.7. Ускорение жидкой частицы...................................................... 31

4.8. Анализ движения жидкой частицы........................................... 32

4.8.1. Угловые деформации................................................... 32

4.8.2. Линейные деформации................................................. 36

5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.............................................. 38

5.1. Кинематика вихревого движения............................................. 38

5.2. Интенсивность вихря................................................................ 39

5.3. Циркуляция скорости............................................................... 41

5.4. Теорема Стокса......................................................................... 42

6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ................................ 44

6.1. Потенциал скорости.................................................................. 44

6.2. Уравнение Лапласа................................................................... 46

6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.......................... 47

6.4. Функция тока плоского течения............................................... 47

6.5. Гидромеханический смысл функции тока................................ 49

6.6. Связь потенциала скорости и функции тока............................ 49

6.7. Методы расчета потенциальных потоков................................ 50

6.8. Наложение потенциальных потоков......................................... 54

6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра................ 58

6.10. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоских потоков идеальной жидкости............................................ 60

6.11. Конформные отображения..................................................... 62

7. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ............................. 65

7.1. Уравнения движения идеальной жидкости.............................. 65

7.2. Преобразование Громеки-Лэмба............................................. 66

7.3. Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба........................ 67

7.4. Интегрирование уравнения движения для установившегося течения......................................................................................................... 68

7.5. Упрощенный вывод уравнения Бернулли............................... 69

7.6. Энергетический смысл уравнения Бернулли........................... 70

7.7. Уравнение Бернулли в форме напоров.................................... 71

8. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ..................................... 72

8.1. Модель вязкой жидкости.......................................................... 72

8.1.1. Гипотеза линейности................................................... 72

8.1.2. Гипотеза однородности................................................ 74

8.1.3. Гипотеза изотропности................................................. 74

8.2 Уравнение движения вязкой жидкости. (уравнение Навье-Стокса) ......................................................................................................... 74

9. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (основы гидравлики)........................................................................................................... 77

9.1. Расход потока и средняя скорость........................................... 77

9.2. Слабодеформированные потоки и их свойства....................... 78

9.3. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости................. 79

9.4. Физический смысл коэффициента Кориолиса......................... 82

10. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.............................................................................................. 84

11. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ..................................................................................................... 86

12. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ. .................................................................................................................. 90

12.1. Общие сведения....................................................................... 90

12.2. Уравнения Рейнольдса............................................................ 92

12.3. Полуэмпирические теории турбулентности.......................... 93

12.4. Турбулентное течение в трубах............................................. 95

12.5. Степенные законы распределения скоростей....................... 100

12.6. Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах. ......................................................................................................... 100

13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ............... 102

13.1. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений..... 106

13.2. Понятие об автомодельности................................................ 110

13.3. Анализ размерностей............................................................ 111

Литература …………………………………………………………………..118

Многие процессы, которые встречаются в практике, бывают настолько сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями . В таких случаях очень ценным приёмом для выявления соотношения между переменными величинами служит анализ размерностей.

Этот метод не даёт полных сведений о соотношении между переменными, которое, в конечном счёте, должно быть выявлено экспериментально. Тем не менее, этот метод позволяет значительно сократить объём экспериментальных работ.

Таким образом, эффективное применение метода размерности возможно только при комбинировании его с экспериментом; при этом должны быть известны все факторы или переменные величины, которые оказывают влияние на исследуемый процесс.

Анализ размерности даёт логичное распределение величин по безразмерным группам. В общем виде функциональная зависимость N может быть представлена в виде формулы, которая называется формулой размерности:

Сюда входит (k + 1) величин с включением и величины N. Они могут быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными. Однако в данном случае необходимо, чтобы для числовых величин, входящих в уравнение, которое характеризует физическое явление, была бы принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблюдении этого условия уравнение остаётся справедливым при произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные единицы должны быть независимыми по своим размерностям, а число их таким, чтобы была возможность представить через них размерности всех величин, входящих в функциональную зависимость (3.73).

Такими единицами измерения могут быть любые три величины, входящие в уравнение (3.73) и являющиеся независимыми друг от друга в отношении размерности. Если принять, например, за единицы измерения длину L и скорость V, тем самым имеем заданными единицу длины L и единицу времени . Таким образом, для третьей единицы измерения нельзя принимать любую величину, размерность которой содержит только длину и время, такую как, например, ускорение, так как единица этой величины уже есть заданной в результате выбора единиц длины и скорости. Поэтому, дополнительно должна быть выбрана любая величина, в размерность которой входит масса, например, плотность, вязкость, сила и т.п.

На практике, например, при гидравлических исследованиях, оказывается целесообразным принять следующие три единицы измерения: скорость V 0 любой частицы потока, любую длину (диаметр трубопровода D или его длину L), плотность ρ выбранной частицы.

Размерность этих единиц измерения:

М/с; м; кг/м 3 .

Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии с функциональной зависимостью (3.73) может быть представлено в следующем виде:

Значения N i и n i , взятые в системе основных единиц (метр, секунда, килограмм), можно выразить безразмерными числами:

; .

Поэтому, вместо уравнения (3.73) можно написать уравнение, в котором все величины выражены в относительных единицах (по отношению к V 0 , L 0 , ρ 0):

Поскольку п 1 , п 2 , п 3 представляют собой, соответственно, V 0 , L 0 , ρ 0 , то первые три члена уравнения превращаются в три единицы и функциональная зависимость принимает вид:

. (3.76)

В соответствии с π-теоремой любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. При исследованиях эта теорема позволяет определить связь не между самими переменными, а между некоторыми безразмерными их соотношениями, составленными по определённым законам.

Таким образом, функциональная зависимость между k + 1 размерными величинами N и n i в общем случае выражается как соотношение между (k + 1- 3) величинами π и π i (i = 4,5, ..., k), каждая из которых является безразмерной степенной комбинацией величин, входящих в функциональную зависимость. Безразмерные числа π носят характер критериев подобия, как это видно из следующего примера.

Пример 3.3. Определить функциональную зависимость для силы сопротивления F (Н = кг·м/с 2), которую испытывает пластина при обтекании жидкостью в направлении её длины.

Функциональную зависимость силы сопротивления можно представить в виде функции от ряда независимых переменных и определить её в условиях сходства:

,

где скорость обтекания, м/с; площадь пластины, м 2 ; плотность жидкости, кг/м 3 ; динамический коэффициент вязкости, Па·с ([Па·с] = кг/м·с); ускорение свободного падения, м/с 2 ; давление, Па (Па = кг/м·с); отношение высоты пластины к ее длине; угол наклона пластины к направлению потока.

Таким образом, величины и безразмерные, остальные шесть – размерные. Три из них: , и приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только три безразмерных соотношения. Следовательно:

для силы сопротивления:

1 = z (показатели слева и справа при кг);

2 = - x (показатели слева и справа при с);

1 = х + 2у - 3z (показатели слева и справа при м).

Решение этих уравнений даёт: x = 2; у = 1; z = 1.

Функциональная зависимость:

Аналогично получим:

Для вязкости:

имеем x 1 = 1; у 1 = 0,5; z 1 = 1.

Функциональная зависимость:

;

имеем x 2 = 2; у 2 = - 0,5; z 2 = 0.

Функциональная зависимость:

Для давления:

имеем x 3 = 2; у 3 = 0; z 3 = 1.

Функциональная зависимость:

.

Очевидно, что , ,

.

Отсюда можно сделать вывод, что после исследования данного процесса при некоторых размерах, скоростях и т.п., можно установить как он будет протекать при других размерах и скоростях в том случае, если безразмерные отношения, составленные из этих переменных, для обоих случаев будут одинаковые. Итак, выводы, полученные при экспериментах с телами данных размеров, движущихся с данной скоростью и т.д., будут, очевидно, справедливы и для любых других размеров тела, скорости и т.д. при условии равенства безразмерных отношений с теми, что наблюдались при экспериментах.

Пример 3.4. На основе предыдущих исследований на лабораторном устройстве определить функциональную зависимость мощности N (Вт = кг·м 2 /с 3) электродвигателя мешалки, которая необходима для перемешивания пульпы с реагентами в контактном чане.

Для подобия двух смесительных систем требуется:

Геометрическое подобие, при котором отношение величин для рассматриваемых систем должны быть равны между собой;

Кинематическое подобие, когда скорости в соответствующих точках должны быть в таком же отношении, как и скорости в других соответствующих точках, то есть пути движения пульпы должны быть подобными;

Динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение сил в соответствующих точках было бы равным отношению сил в других соответствующих точках.

Если граничные условия фиксированные, можно одну переменную величину выразить через другие переменные, то есть функциональную зависимость мощности электродвигателя мешалки можно представить в виде функции от ряда независимых переменных величин и определить её по критериям подобия:

,

где диаметр мешалки, м; плотность пульпы, кг/м 3 ; скорость вращения мешалки, с -1 ; динамический коэффициент вязкости, Па·с (Па·с=кг/м·с); ускорение свободного падения, м/с 2 – угол наклона пластины к направлению потока.

Таким образом, имеем пять размерных величин, три из них: , и приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только два безразмерных соотношения. Следовательно:

.

Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя, найдём показатели степеней:

для мощности электродвигателя мешалки:

,

3 = z (показатели слева и справа при с);

1 = в (показатели слева и справа при кг);

2 = х - 3у (показатели слева и справа при м).

Решение этих уравнений даёт: x = 5; у = 1; z = 3.

Функциональная зависимость:

Аналогично получим:

Для вязкости:

имеем x 1 = 2; у 1 = 1; z 1 = 1.

Функциональная зависимость:

;

Для ускорения свободного падения:

имеем x 2 = 1; у 2 = 0; z 2 = 1.

Функциональная зависимость:

;

Очевидно, что , . Тогда искомая функциональная зависимость имеет вид:

.

Отсюда можно сделать вывод, что после нахождения функциональной зависимости мощности электродвигателя мешалки при некоторых её параметрах, можно установить какой она будет и при других размерах и скоростях и т.п. в том случае, если безразмерные отношения для обоих случаев будут одинаковы. Итак, выводы, полученные на экспериментальном устройстве, будут справедливы и для любых других при условии равенства безразмерных отношений с теми, что наблюдались при экспериментах.

Пример 3.5. Исследуется процесс обогащения в тяжелосредном сепараторе. На параметрической схеме процесса тяжелосредной сепарации (рис. 3.5) указаны входящие, исходящие и контролируемые параметры, а также возможные препятствия:

Входные и контролируемые параметры: Q вх - производительность сепаратора по исходному материалу; Q сусп - расход суспензии; V - объём ковша; Δρ - разница в плотностях суспензии и разделяемой фракции; ω - скорость вращения элеваторного колеса; п - число ковшей элеваторного колеса;

Выходные и контролируемые параметры: Q к-т - производительность сепаратора по концентрата; Q отх - производительность сепаратора по отходам;

Препятствия (неучтённые параметры, оказывающие влияние на процесс): влажность, гранулометрический и фракционный состав.

Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин = кг/с; = м 3 /с; [Δ ] = кг/м 3 ; [V] = м 3 ; [ ] = c –1 ; = кг/с; [n] = 8.

Основных размерных величин m = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:

параметра, то есть Q отх, V , Δ , ω.

0 = 3x - 3z (показатели слева и справа при L);

1 = - у - 3z (показатели слева и справа при T);

Таким образом, x = 1; у = - 2; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности сепаратора по отходам от объёма ковша, скорости вращения элеваторного колеса и разницы в плотности суспензии и разделяемой фракции имеет вид:

Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м 3 ; Δ = 100 кг/м 3 ; = 0,035 c –1 ; n = 8, в результате которых установлено, что Q отх = 42 кг/с:

Формула является математической моделью исследуемого процесса.

Пример 3.6. Исследуется процесс транспортировки концентрата крупностью 0,5 - 13 мм обезвоживающим элеватором багер-зумпфа:

Входные и контролируемые параметры: ω - вместимость ковша элеватора по твёрдому; ρ - плотность питания; V - скорость движения цепи элеватора;

Выходной и контролируемый параметр: Q - производительность обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5 - 13 мм;

Постоянные параметры: коэффициент заполнения ковшей = 0,5; влажность, гранулометрический и фракционный состав.

В рассматриваемом примере:

Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин: [ω] = м 3 ; [ρ] = кг/м 3 ; [V] = м/с.

Основных размерных величин т = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:

параметра, то есть Q, V, , ω.

Поскольку учтены не все параметры, в функциональную зависимость между выбранными параметрами добавляется коэффициент k:

,

или с использованием основных единиц измерения M, L, T:

0 = 3x + у - 3z (показатели слева и справа при L);

1 = - у (показатели слева и справа при T);

1 = z (показатели слева и справа при M).

Таким образом, x = 2/3; у = 1; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5-13 мм от объёма ковша, скорости движения цепи элеватора и плотности питания имеет вид:

.

Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м/с; = 1400 кг/м 3 ; = 50·10 –3 м 3 в результате которых установлено, что Q = 1,5 кг/с, кроме того, следует учесть коэффициент заполнения ковшей = 0,5 и тогда:

.

Формула является математической моделью процесса транспортировки концентрата крупностью 0,5-13 мм исследуемым обезвоживающим элеватором багер-зумпфа.

Следует иметь в виду, что чем меньше значение коэффициента k, тем больше значение рассматриваемых параметров.

При решении задач по физике на любом уровне необычайно важно определить наиболее приемлемый метод или методы, а уж затем перейти к «техническому» воплощению. Учителя-виртуозы (мы сознательно употребили это выражение, так как считаем во многом схожим прочтение музыкального произведения музыкантами-импровизаторами и учителями-виртуозами, нашедшими собственные, авторские подходы в трактовке и толковании физических закономерностей) уделяют много времени предварительному обсуждению проблемы. Говоря другими словами, обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи, поскольку происходит своеобразный обмен методиками, соприкосновение различных точек зрения, что, собственно, и является целью процесса обучения. Процесс подготовки к решению задачи во многом напоминает процесс подготовки актера к спектаклю. Обсуждение ролей, характеров героев, обдумывание интонаций, музыкальных реприз и художественных декораций являются важнейшими элементами погружения актера в роль. Не случайно, что многие известные театральные работники ценят подготовительный процесс и вспоминают атмосферу репетиций и собственные находки. В процессе преподавания учитель использует различные методы или «спектр методов». Одним из общих методов решения является решение задач методом размерности. Суть данного метода заключается в том, что искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Важным моментом в решении является нахождение этих величин. Анализ размерностей левой и правой частей соотношения позволяет определить аналитическую зависимость с точностью до постоянного множителя.

Рассмотрим, например, от чего может зависеть давление в газе. Из повседневного опыта мы знаем, что давление является функцией температуры (увеличивая температуру, мы увеличиваем давление), концентрации (давление газа возрастет, если, не изменяя его температуры, мы поместим в данный объем большее число молекул). Естественно предположение о зависимости давления газа от массы молекул и их скорости. Понятно, что чем больше масса молекул, тем больше будет давление при прочих постоянных величинах. Очевидно, что при увеличении скоростей молекул давление будет возрастать. (Отметим, что все вышеизложенные рассуждения говорят о том, что все показатели степеней в окончательной формуле обязаны быть положительными!) Можно предположить, что давление газа находится в зависимости от его объема, однако если мы поддерживаем постоянной концентрацию молекул, то давление от объема не зависит. Действительно, в случае, если мы приведем в соприкосновение два сосуда с одинаковыми газами одной и той же концентрации, скоростями молекул, температурой и т.д., то, убрав перегородку, разъединяющую газы, мы не изменим давления. Таким образом, изменив объем, но оставив неизменным концентрацию и другие параметры, мы не изменили давления. Иначе говоря, мы не должны будем вводить объем в наши рассуждения. Казалось бы, что мы вправе строить функциональную зависимость, но, быть может, мы ввели избыточную информацию? Дело в том, что температура – это энергетическая характеристика тел, поэтому она связана с энергией молекул, т.е. является функцией массы и скорости молекул, составляющих тело. Поэтому, включая в наши предположения зависимости давления от концентрации, скоростей и массы молекул, мы уже «позаботились» о всех возможных зависимостях, которые в том числе могут включать и температуру. Говоря иными словами, искомая функциональная зависимость может быть записана в виде:

Здесь p – давление газа, т 0 – масса молекулы, n – концентрация, u – скорость молекулы.

Представим давление, массу, концентрацию, скорость в основных величинах интернациональной системы:

Зависимость (1) на языке размерностей имеет вид:

Сравнение размерности левой и правой части дает систему уравнений

Решая (4), получим а = 1; b = 1; с = 2. Давление газа теперь можно записать как

(5)

Обратим внимание на то, что коэффициент пропорциональности нельзя определить, используя метод размерностей, но, тем не менее, мы получили неплохое приближение к известному соотношению (основное уравнение мо-лекулярно-кинетической теории).

Рассмотрим несколько задач, на примере решения которых продемонстрируем суть метода размерностей.

Задача 1 . Оцените выражение для периода колебаний математического маятника, используя анализ размерностей. Предположим, что период колебаний маятника зависит от его длины, ускорения свободного падения и массы груза(!):

(6)

Представим все вышеупомянутые величины:

С учетом (7) перепишем искомую закономерность выражением

(8)

(9)

Теперь уже нетрудно записать систему уравнений:

Таким образом, ; с = 0.

(11)

Отметим, что «масса имеет нулевую размерность», т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы:

Задача 2 . Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний .

На первый взгляд кажется, что нам необходимо ввести в рассмотрение температуру газа, так как хорошо известно, что скорость звука зависит от температуры. Однако (сравните с рассуждением выше) давление может быть выражено как функция плотности (концентрации) и температуры среды. Поэтому одна из величин (давление, плотность, температура) является «лишней». Поскольку по условию задачи нам предлагается сравнить скорости разных давлений и плотностей, то разумно исключить из рассмотрения температуру. Отметим, что если бы нам надо было сделать сравнение для разных давлений и температур, то мы бы исключили плотность.

Скорость звука в условиях данной задачи может быть представлена

Соотношение (13) перепишем как

(14)

Из (14) имеем

Решение (15) дает .

Результаты экспериментов имеют следующую функциональную зависимость:

Скорость звука для двух состояний имеет вид:

(17)

Из (17) получим отношение скоростей

Задача 3 . На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F . Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан лишь один виток, второй конец удерживается с силой f . С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано n витков? Как изменится сила f , если выбрать столб вдвое большего радиуса? (Сила f не зависит от толщины каната.)

Совершенно очевидно, что сила f в данном случае может зависеть лишь от приложенной внешней силы F , коэффициента трения и диаметра столба. Математическую зависимость можно представить как

(19)

Поскольку коэффициент трения является величиной безразмерной, то (19) перепишем в виде

так как а = 1; с = 0 (a – коэффициент пропорциональности, связанный с μ). Для второго, третьего, ..., п -го намотанного витка запишем аналогичные выражения:

(21)

Подставляя α из (20) в (21), получим:

Хорошо известно, что «метод размерностей» зачастую с успехом применяется в гидродинамике и аэродинамике. В некоторых случаях он позволяет «оценить решение» достаточно быстро и с хорошей степенью надежности.

Совершенно понятно, что в данном случае сила сопротивления может зависеть от плотности жидкости, скорости потока и площади поперечного сечения тела:

(23)

Выполнив соответствующие преобразования, найдем, что

(24)

Как правило, соотношение (24) представляют в виде

(25)

где . Коэффициент с характеризует обтекаемость тел и принимает различные значения для тел: для шара с = 0,2 – 0,4, для круглого диска с = 1,1 – 1,2, для каплеобразного тела с » 0,04. (Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т. 1. – М.: Наука, 1974.)

До сих пор мы рассматривали примеры, в которых коэффициент пропорциональности оставался безразмерной величиной, однако это не означает, что мы должны всегда следовать этому. Вполне возможно сделать коэффициент пропорциональности «размерным», зависящим от размера основных величин. Например, вполне уместно представить гравитационную постоянную . Говоря другими словами, наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее численное значение зависит от выбора основных величин. (Здесь нам кажется уместным сделать ссылку на статью Д.В.Сивухина «О международной системе физических величин», УФН, 129, 335, 1975.)

Задача 5 . Определите энергию гравитационного взаимодействия двух точечных масс т 1 и т 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.

Помимо предложенного метода анализа размерностей, дополним решение задачи принципом симметрии входящих величин. Соображения симметрии дают основания считать, что энергия взаимодействия должна зависеть от т 1 и т 2 одинаковым образом, т.е. в окончательное выражение они должны войти в одинаковой степени:

(26)

Очевидно, что

Анализируя соотношение (26), найдем, что

а = 1; b = 1; с = –1,

(28)

Задача 6. Найдите силу взаимодействия между двумя точечными зарядами q 1 и q 2 , находящимися на расстоянии r .

Мы здесь можем воспользоваться симметрией, но если не хотим делать предположений о симметрии или не уверены в такой симметрии, то можно использовать другие методы. Данная статья написана для того, чтобы показать различные методы, поэтому мы решим задачу другим способом. Очевидна аналогия с предыдущей задачей, однако в данном случае можно воспользоваться принципом нахождения эквивалентных величин. Попытаемся определить эквивалентную величину – напряженность электрического поля заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2 . Понятно, что искомая сила – это произведение q 2 на найденную напряженность поля. Поэтому будем предполагать зависимость напряженности от искомых величин в виде:

Представим все в основных единицах:

Проделав все преобразования, получим систему уравнений

Таким образом, а = –1; b = 1; с = –2, и выражение для напряженности принимает вид

Искомая же сила взаимодействия может быть представлена выражением

(33)

В соотношении (33) отсутствует безразмерный коэффициент 4π, который был введен по историческим причинам.

Задача 7. Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом r 0 и плотностью r на расстоянии R (R > r 0) от оси цилиндра.

Поскольку мы не можем сделать предположений о равноправии r 0 и R , то решить данную задачу методом размерностей, не привлекая иных соображений, довольно трудно. Попытаемся понять физическую суть параметра r . Он характеризует плотность распределения массы, создающей интересующую нас напряженность поля. Если цилиндр сжать, оставив массу внутри цилиндра неизменной, то напряженность поля (на фиксированном расстоянии R > r 0) будет такой же. Иначе говоря, линейная плотность является более важной характеристикой, поэтому применим метод замены переменной. Представим . Теперь s является новой переменной в предложенной задаче, при этом:

a . Горизонтальная и вертикальная скорости и ускорение свободного падения принимают соответственно вид:

Построим математическую конструкцию для дальности и высоты полета:

(39)

Анализируя выражение (39), получим теперь

(40)

(41)

Данный метод является более сложным, однако хорошо работает, если имеется возможность различить величины, измеряемые одной и той же единицей измерения. Например: инерционная и гравитационная масса («инерционные» и «гравитационные» килограммы), вертикальное и горизонтальное расстояние («вертикальные» и «горизонтальные» метры), сила тока в одной и другой цепи и т.п.

Суммируя все вышеизложенное, отметим:

1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.

2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.

3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.

4. Анализ размерностей при решении задач широко используется в научных исследованиях.

5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

В статье рассмотрена теория метода размерностей и применение данного метода в физике. Уточнено определение метода размерностей. Перечислены возможности данного метода. С помощью теории размерности можно получить особенно ценные выводы при рассмотрении таких явлений, которые зависят от большого количества параметров, но при этом так, что некоторые из этих параметров в известных случаях становятся несущественными. В рассматриваемом методе искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Метод теории размерности играет особенно большую роль при моделировании различных явлений. Таким образом, целью анализа размерностей является получение некоторых сведений о соотношениях, существующих между измеримыми величинами, связанными различными явлениями.

размерность

метод размерностей

физическая величина

1. Алексеевнина А.К. От физических понятий к культуре речи // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-4. – С. 807-811.

2. Брук Ю.М., Стасенко А.Л. Как физики делают оценки – метод размерностей и порядки физических величин // Сб. «О современной физике – учителю», изд. «Знание», Москва, 1975. – С. 54–131.

3. Власов А.Д., Мурин Б.П. Единицы физических величин в науке и технике. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 27 с.

Ежедневно мы сталкиваемся с различными измерениями. Чтобы не опаздывать, мы устанавливаем будильник (фиксируем время), следим за культурой своего питания (взвешиваем продукты, считаем калории). Единицы измерения всем знакомы, например, скорость движения измеряется в м/c в системе СИ, а в другой - км/час. Единицы измерения придуманы людьми, исторически это связано с развитием социума, научно-технического процесса, торговли и т.д.

В науке закономерности, то есть уравнения связи одних физических величин с другими, необходимо анализировать не с помощью единиц, которые полностью зависят от человека, а с помощью каких-то других понятий, независимых от человека. Поскольку и сами природные закономерности от человека не зависят.

Уравнения связи физических величин анализируют не с помощью единиц измерения, а с помощью каких-то других понятий, однозначных для одной и той же величины. С этой целью и введено понятие «размерности». Размерность - это выражение (без числовых коэффициентов), зависимости величины от основных величин системы, в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам. Каждой размерности придуман свой символ обозначения, и порядок их расположения строго регламентировано. Например, объем любого тела обозначаться L3, скорость механического движения тела - LT-1 .

Тот факт, что физические соотношения имеют скалярный, векторный или тензорный характер, отражает свойство инвариантности физических законов относительно системы координат.

С другой стороны, для того, чтобы задать значения какой-либо физической величины, необходимо задать единицы ее измерения, и, вообще говоря, систему единиц измерения. Очевидно, что смысл физических соотношений не должен зависеть от выбора системы единиц измерений.

При этом нет необходимости для каждой физической величины задавать строго особую единицу измерения, т.к. физические определения и соотношения позволяют выражать размерности одних физических величин через другие.

Например, определение скорости позволяет выразить размерность скорости v = ds/dt через размерности перемещения ds и времени dt.

В любой системе единиц вводятся основные единицы измерения. Они вводятся из опыта с помощью эталонов. Например, в СИ основными считаются метр, секунда, килограмм, Ампер, Кельвин, моль, кандела.

Выражение произвольной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. Для каждой основной величины вводится обозначение: L - длина, М - масса, Т-время и т.д.

Любая произвольная размерность обозначается квадратными скобками от соответствующей величины. Например, [v] - размерность скорости, [Е] - размерность энергии и т.д.

Формула размерности. В теории размерности доказывается, что размерность любой величины представляет собой степенные одночлены вида [N] = LlTtMm... и называется формулой размерности. Иногда в формулах размерности используют не символы основных величин, а их единиц измерения [v] = мс-1, [Е] = кг м2с2 и т.д.

Метод размерностей - одно из самых интересных методов расчета. Суть его заключается в возможности восстанавливать различные соотношения между физическими величинами. Достоинства: быстрая оценка масштабов исследуемых явлений; получение качественных и функциональных зависимостей; восстановление забытых формул на экзаменах, ЕГЭ. А так же специальные задания с использованием метода размерностей, способствует развитию мышления и культуры речи .

В основе метода размерностей лежит составление перечня существенных физических величин, определяющих процесс в данной задаче. Это возможно сделать лишь при сознательном и глубоком понимании, а также при исследовательском, творческом подходе к разбору физической ситуации. Это означает, что использование метода размерностей способствует развития мышления учащихся на уроках физики. Большинство задач школьного курса физики относительно просты с точки зрения рассматриваемого метода, это значительно облегчает его использование в обучении.

Рассмотрим некоторые достоинства и приложения метода размерностей:

Быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;

Получение качественных и функциональных зависимостей;

Восстановление забытых формул на экзаменах;

Выполнение некоторых заданий ЕГЭ;

Осуществление проверки правильности решения задач.

Метод размерностей является распространенным и относительно простым методом современной физической науки. Он позволяет с меньшими затратами сил и времени проверить:

1) правильность решения задачи;

2) установить функциональную зависимость между физическими величинами, характеризующими данный процесс;

3) оценить ожидаемый численный результат. Кроме того, учитель физики имеет возможность:

а) опросить за урок большее число учащихся;

б) выяснить знание формул и единиц измерения физических величин;

в) сэкономить время при объяснении нового материала. Использование метода размерностей на учебных занятиях будет стимулировать более углубленное изучение предмета, расширит кругозор учащихся, усилит меж предметную связь.

В физике имеется одна чрезвычайно полезная математическая процедура, называемая анализом размерностей.

Для правильной постановки и обработки экспериментов, результаты которых позволяли бы установить общие закономерности и могли бы быть приложенными к случаям, в которых эксперимент не проводился непосредственно, необходимо вникать в сущность изучаемого вопроса и давать общий качественный анализ.

Возможность такого предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных величин и дает теория размерности, которая приносит много пользы и в теории, и в практике. Все результаты, добываемые с помощью этой теории, получаются всегда очень просто, элементарно и почти без всякого труда. Но применение этой теории к новым задачам требует опыта и понимания сущности явления.

Всякое уравнение в физике выражает соотношение, объективно существующее в природе, независимо от воли того, кто это уравнение пишет. И, конечно, обе части уравнения должны выражаться величинами, измеряемыми в одних и тех же единицах.

Анализ размерностей широко применяется в физике для анализа уравнений, которые бывают не так просты, как F = ma, и в отношении которых присутствует сомнение, верны ли они. Если бы степени хотя бы одной размерности не совпали, то это означало бы стопроцентную гарантию того, что уравнение неверно .

При решении задач, а соответственно и тестов большое значение имеет контроль по установлению размерностей величин входящих в качестве слагаемых в расчетные формулы. Вполне очевидно, что выражение типа «3м-2кг» не имеет смысла, поэтому если в результате решения появляются слагаемые, имеющие разную размерность, то это явный признак того, что была допущена ошибка (чаше всего она носит арифметический характер). Понимая это, необходимо периодически при решении теста или задачи прибегать к анализу размерности.

Польза от применения размерностей не ограничивается процедурой анализа размерностей. Также метод размерностей используется при систематизации физических величин.

Следует только помнить, что размерность при систематизации физических величин - это всё же понятие вспомогательное. Оно помогает решать проблему, но решить проблему не возможно только с помощью размерностей. Да и стремиться к такому подходу вряд ли стоит. Проблему систематизации физических величин решает только сравнение определяющих уравнений, а применение размерностей придает этому решению определенную наглядность.

В свою очередь, физические величины могут быть размерными и безразмерными. Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов, то есть от системы единиц измерения, называются размерными или именованными величинами, например: длина, время, сила, энергия, момент силы и т. д. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или отвлеченными величинами, например: отношение двух длин, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и др. Это понятие является условным, и поэтому некоторые величины можно рассматривать в одних случаях как размерные, а в других - как безразмерные.

Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому если некоторые из них принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называются основными или первичными, а остальные - производными или вторичными.

В настоящее время большим распространением пользуются физическая и техническая системы единиц измерения. В физической системе за основные единицы измерения приняты сантиметр, грамм-масса и секунда (система CGS),

Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позволяет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд и находить ошибки у писателей - фантастов, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строительстве туннелей в горах.

Основная польза теории размерностей связана с возможностью изучения физических закономерностей в безразмерном виде, не зависящим от выбора систем единиц измерения. Результаты анализа проблемы в безразмерном виде применимы сразу к целому классу явлений.

Суммируя все вышеизложенное, сделаем следующие выводы:

1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.

2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до числового коэффициента

3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.

4. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

5. Метод размерностей очень прост в математическом отношении.

Данный метод требует особого внимания. Более конкретного и детального изучения, с целью внедрения данного метода в школьный курс физики, для осознанного и целенаправленного использования метода размерности при решении поставленных задач перед учащимися.

Библиографическая ссылка