Что называют аргументом комплексного числа. Тригонометрическая форма записи
Который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.
Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
Пример 1
Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,\, \, z_{2} =4i,\, \, \, z_{3} =4+3i$.
Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $.
Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=\sqrt{13^{2} +0^{2} } =\sqrt{169} =13$
Для исходного комплексного числа $\, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=\sqrt{0^{2} +4^{2} } =\sqrt{16} =4$
Для исходного комплексного числа $\, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=\sqrt{4^{2} +3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$
Определение 2
Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.
Примечание 1
Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - тригонометрическая форма;
- $z=r\cdot e^{i\varphi } $ - показательная форма.
Пример 2
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.
1) Подставим данные $r=3;\varphi =\pi $ в соответствующие формулы и получим:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - тригонометрическая форма
$z=3\cdot e^{i\pi } $ - показательная форма.
2) Подставим данные $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:
$z=13\cdot (\cos \frac{3\pi }{4} +i\sin \frac{3\pi }{4})$ - тригонометрическая форма
$z=13\cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ - показательная форма.
Пример 3
Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:
1) $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3})$; 3) $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $; 4) $z=13\cdot e^{i\pi } $.
Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно
\ \
1) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ получим $r=\sqrt{2} ;\varphi =2\pi $.
2) Для исходного комплексного числа $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3})$ получим $r=\frac{5}{3} ;\varphi =\frac{2\pi }{3} $.
3) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ получим $r=\sqrt{13} ;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.
4) Для исходного комплексного числа $z=13\cdot e^{i\pi } $ получим $r=13;\varphi =\pi $.
Аргумент $\varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:
\[\varphi =tg\frac{b}{a} ;\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } .\]
На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:
$\varphi =\arg z=\left\{\begin{array}{c} {arctg\frac{b}{a} ,a\ge 0} \\ {arctg\frac{b}{a} +\pi ,a
или решают систему уравнений
$\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \\ {\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \end{array}\right. $. (**)
Пример 4
Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{3} =arctg0=0.\]
Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{4}{0} =arctg(\infty)=\frac{\pi }{2} .\]
Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):
\[\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. .\]
Из курса тригонометрии известно, что $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac{\sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $\varphi =\frac{\pi }{4} $.
Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{-5} +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{-2}{0} =arctg(-\infty)=\frac{3\pi }{2} .\]
Примечание 2
Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{2} $ по примечанию 3.
Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{3\pi }{2} $ по примечанию 3.
Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $\sqrt{2^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =2\sqrt{2} $, т.е. $r=2\sqrt{2} $, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.
Соответствующего этому числу: .
Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z
|
или r.
Пусть и - вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Модуль комплексного числа" в других словарях:
модуль комплексного числа - kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. modulus of complex number vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. модуль комплексного числа, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas
- (modulus) Величина числа с точки зрения его расстояния от 0. Модуль, или абсолютное значение реального числа х (обозначается |х|), является разностью между х и 0 независимо от знака. Следовательно, если х>0, то |х|=х и если х <0, то |х|=–х … Экономический словарь
Комплексного числа см. Абсолютная величина. Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab … Большой Энциклопедический словарь
Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… … Википедия
Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… …
- (в математике) мера для сравнения однородных величин и для выражения одной из них помощью другой; м. выражается числом. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. МОДУЛЬ (лат.). 1) число, которым множатся… … Словарь иностранных слов русского языка
МОДУЛЬ комплексного числа, см. Абсолютная величина (см. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА). Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab … Энциклопедический словарь
I Модуль (от лат. modulus мера) в архитектуре, условная единица, принимаемая для координации размеров частей здания или комплекса. В архитектуре разных народов в зависимости от особенностей строительной техники и композиции зданий за М.… … Большая советская энциклопедия
Я; м. [от лат. modulus мера] 1. чего. Спец. Величина, характеризующая какое л. свойство твёрдого тела. М. сжатия. М. упругости. 2. Матем. Действительное число, абсолютная величина отрицательного или положительного числа. М. комплексного числа. М … Энциклопедический словарь
Числовая характеристика какого либо математич. объекта. Обычно значение М. неотрицательное действительное число элемент, обладающий нек рыми характеристич. свойствами, обусловленными свойствами множества рассматриваемых объектов. Понятие М.… … Математическая энциклопедия
Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Чтобы определить понятие аргумента комплексного числа , необходимо рассмотреть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.
Инструкция
Плоскость, на которой представляют комплексные числа , называется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и аргумент. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Аргументом называют угол между вектором, соединяющим точку и начало координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).
Из рисунка видно, что модуль комплексного числа
z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Далее аргумент числа
z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y / x.
Например, пусть дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Далее найдите синус угла: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Отсюда получается аргумент числа z равен 30°.
Пример 2. Пусть дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg = 5 / 5 = 1. Отсюда следует, что = 90°.
Пример 3. Пусть необходимо найти аргумент суммы двух комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Далее по приведенной выше схеме рассчитываете аргумент: tg = 9 / 3 = 3.
Который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.
Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
Пример 1
Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_{1} =13,\, \, z_{2} =4i,\, \, \, z_{3} =4+3i$.
Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $.
Для исходного комплексного числа $z_{1} =13$ получим $r_{1} =|z_{1} |=|13+0i|=\sqrt{13^{2} +0^{2} } =\sqrt{169} =13$
Для исходного комплексного числа $\, z_{2} =4i$ получим $r_{2} =|z_{2} |=|0+4i|=\sqrt{0^{2} +4^{2} } =\sqrt{16} =4$
Для исходного комплексного числа $\, z_{3} =4+3i$ получим $r_{3} =|z_{3} |=|4+3i|=\sqrt{4^{2} +3^{2} } =\sqrt{16+9} =\sqrt{25} =5$
Определение 2
Угол $\varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $\overrightarrow{OM} $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $\arg z$.
Примечание 1
Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - тригонометрическая форма;
- $z=r\cdot e^{i\varphi } $ - показательная форма.
Пример 2
Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.
1) Подставим данные $r=3;\varphi =\pi $ в соответствующие формулы и получим:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - тригонометрическая форма
$z=3\cdot e^{i\pi } $ - показательная форма.
2) Подставим данные $r=13;\varphi =\frac{3\pi }{4} $ в соответствующие формулы и получим:
$z=13\cdot (\cos \frac{3\pi }{4} +i\sin \frac{3\pi }{4})$ - тригонометрическая форма
$z=13\cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ - показательная форма.
Пример 3
Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:
1) $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3})$; 3) $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $; 4) $z=13\cdot e^{i\pi } $.
Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно
\ \
1) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{2} \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ получим $r=\sqrt{2} ;\varphi =2\pi $.
2) Для исходного комплексного числа $z=\frac{5}{3} \cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\sin \frac{2\pi }{3})$ получим $r=\frac{5}{3} ;\varphi =\frac{2\pi }{3} $.
3) Для исходного комплексного числа $z=\sqrt{13} \cdot e^{i\frac{3\pi }{4} } $ получим $r=\sqrt{13} ;\varphi =\frac{3\pi }{4} $.
4) Для исходного комплексного числа $z=13\cdot e^{i\pi } $ получим $r=13;\varphi =\pi $.
Аргумент $\varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:
\[\varphi =tg\frac{b}{a} ;\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } ;\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } .\]
На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:
$\varphi =\arg z=\left\{\begin{array}{c} {arctg\frac{b}{a} ,a\ge 0} \\ {arctg\frac{b}{a} +\pi ,a
или решают систему уравнений
$\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \\ {\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } } \end{array}\right. $. (**)
Пример 4
Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{3} =arctg0=0.\]
Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{4}{0} =arctg(\infty)=\frac{\pi }{2} .\]
Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):
\[\left\{\begin{array}{c} {\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } } =\frac{1}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. .\]
Из курса тригонометрии известно, что $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac{\sqrt{2} }{2} $ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $\varphi =\frac{\pi }{4} $.
Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{-5} +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac{-2}{0} =arctg(-\infty)=\frac{3\pi }{2} .\]
Примечание 2
Число $z_{3} $ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{2} $ по примечанию 3.
Число $z_{4} $ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $\varphi =\frac{3\pi }{2} $ по примечанию 3.
Число $z_{5} $ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $\sqrt{2^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =2\sqrt{2} $, т.е. $r=2\sqrt{2} $, а аргумент $\varphi =\frac{\pi }{4} $ по свойству прямоугольного треугольника.
Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Дабы определить представление аргумента комплексного числа , нужно разглядеть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.
Инструкция
1. Плоскость, на которой представляют комплексные числа , именуется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и довод. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Доводом называют угол? между вектором, соединяющим точку и предисловие координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).
2. Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Дальше довод числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin ? = y / ? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y / x.
3. Скажем, пускай дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Дальше обнаружьте синус угла?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Отсель получается довод числа z равен 30°.
4. Пример 2. Пускай дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол? = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ? = 5 / 5 = 1. Отсель следует, что? = 90°.
5. Пример 3. Пускай нужно обнаружить довод суммы 2-х комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Дальше по приведенной выше схеме рассчитываете довод: tg ? = 9 / 3 = 3.
Обратите внимание!
Если число z = 0, то значение довода для него не определено.
Полезный совет
Значение довода комплексного числа определяется с точностью до 2 * ? * k, где k – всякое целое число. Значение довода? такое, что –?